Komplex iteration II

Ett annat sätt att iterera komplexa tal är att börja med ett bestämt startvärde som inte behöver vara noll:

• Välj ett komplext tal som startvärde för \(z_0\)
• Låt \(z_{n+1}=z_n^2+c\), där \(c\) är ett komplext tal

Vi får följden \(z_0, z_1, z_2, …\) och undersöker om \(|z_n|\) blir ofattbart stort när \(n\rightarrow\infty\).

Problem 4

Låt \(z_0=1-i\) och \(c=0,23-0,3i\). Det räcker om du ändrar \(z_0\) och \(c\) i GeoGebra.

a) Beräkna \(z_1\) och \(|z_1|\)

b) Beräkna \(z_2\) och \(|z_2|\)

c) Beräkna \(z_3\) och \(|z_3|\)

d) Vilket värde verkar \(|z_n|\) anta då \(n\rightarrow\infty\)?

På samma sätt som tidigare skulle nu kunna fortsätta att ändra det komplexa talet \(z_0\) (men använda samma värde på \(c\)) och försöka se om vi kan hitta ett mönster.

Problem 5

Låt \(z_0=0,5-0,5i\) med samma värde på \(c=0,23-0,3i\).

Vilket värde får \(|z_4|\)?