Komplex iteration I

En komplex iteration kan definieras enligt följande:

• Låt \(z_0=0\)
• Låt \(z_{n+1}=z_n^2+c\), där \(c\) är ett komplext tal

Vi får följden \(z_0, z_1, z_2, …\) och undersöker om \(|z_n|\) blir ofattbart stort när \(n\rightarrow\infty\).

Problem 1

Låt \(z_0=0\) och \(c=-1+i\).

a) Beräkna \(z_1\) och \(|z_1|\)

b) Beräkna \(z_2\) och \(|z_2|\)

c) Beräkna \(z_3\) och \(|z_3|\)

d) Vilket värde verkar \(|z_n|\) anta då \(n\rightarrow\infty\)?

Problem 2

Öppna nu GeoGebra classic och utför samma beräkningar som du gjorde ovan fast gör nu beräkningarna ända till \(z_4\). Kom ihåg att den imaginära enheten \(i\) har ett särskilt tecken i GeoGebra.

Du börjar alltså skriva

\(z0=0+0i\)

\(c=-1+i\)

\(z1=z0^2+c\)

abs\((z1)\)

\(z2=z1^2+c\)

abs\((z2)\)

...

Problem 3

Pröva nu med ett annat värde på \(c\). Testa med \(c=i\). Ändra bara raden i Geogebra där du definierade \(c\). Då ska allt annat uppdateras automatiskt.

Vad blev nu \(|z_4|\)?